Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int \frac{x}{2} \cos x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{2}\,\cos x^{2}\,dx
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é a técnica de mudar de variável para aproveitar a derivada interna.

Passo 2

Repare que dentro do cosseno está x^{2} e a derivada de x^{2} é 2x, que aparece (parcialmente) no integrando. Isso sugere escolher:
u = x^{2}.

Passo 3

Derivando ambos os lados, temos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Como no integrando está \tfrac{x}{2}\,dx, escrevemos
\frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\,(x\,dx) = \frac{1}{2}\,\frac{du}{2} = \frac{du}{4}.

Passo 4

Agora substituímos em
\displaystyle \int \frac{x}{2}\,\cos x^{2}\,dx:
\int \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

A integral de \cos(u) é \sin(u). Portanto
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\,\sin(u) + C.
Voltando a x, temos \sin(u)=\sin(x^{2}).

Resposta

\frac{1}{4}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C

Exercícios relacionados