Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int\left(x^{3}-2\right)^{\frac{1}{7}} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int (x^{3} - 2)^{\frac{1}{7}}\,x^{2}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, pois temos uma função composta (x^{3}-2)^{1/7} cujo interior também aparece multiplicado por x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} - 2.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo u na integral original, temos
\int (x^{3}-2)^{\frac{1}{7}}\,x^{2}\,dx = \int u^{\frac{1}{7}}\;\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{\frac{1}{7}}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrar em u:
\int u^{\frac{1}{7}}\,du = \frac{u^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + C = \frac{u^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C = \frac{7}{8}\,u^{\frac{8}{7}} + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{1}{3}\,\int u^{\frac{1}{7}}\,du = \frac{7}{24}\,u^{\frac{8}{7}} + C.

Passo 5

Voltando à variável x via u = x^{3}-2, a antiderivada final é
\frac{7}{24}\,(x^{3}-2)^{\frac{8}{7}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{24}\,(x^{3}-2)^{\tfrac{8}{7}} + C

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