Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
\int \operatorname{tg} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan x \,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
usando o método da substituição. Vamos aproveitar que
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \tan x, \qquad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Assim, \tan x vira u e \operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du, e a integral original se transforma em
\int u\,du.

Passo 3

Integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u=\tan x, obtemos
\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\tan^{2}x}{2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{2}x}{2} + C

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