Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=3 x^{2}+6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da primeira derivada, os intervalos de crescimento e decrescimento de
f(x)=3x^{2}+6x+1,
além de identificar os pontos de máximo e mínimo. Para isso, vamos lembrar que a primeira derivada indica onde a função sobe (derivada positiva) ou desce (derivada negativa) e que pontos críticos (derivada zero) podem ser extremos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f. Como
f(x)=3x^{2}+6x+1,
temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+6x+1\bigr)=6x+6.
Em seguida, achamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.

Passo 3

Resolvendo
6x+6=0
vem
x=-1.
Esse é o único ponto onde a derivada se anula. Agora fazemos o estudo de sinal de f'(x) para x<-1 e x>-1.

Passo 4

Para x<-1, escolhemos um valor teste, por exemplo x=-2. Então
f'(-2)=6(-2)+6=-12+6=-6<0,
logo f é decrescente em (-\infty,-1). Para x>-1, pegamos x=0:
f'(0)=6\cdot0+6=6>0,
logo f é crescente em (-1,\infty). Como f' passa de negativa para positiva em x=-1, ali ocorre um mínimo.

Passo 5

Calculamos o valor de f em x=-1:
f(-1)=3(-1)^{2}+6(-1)+1=3-6+1=-2.
Não há ponto onde a derivada passe de positiva para negativa, portanto não há máximo local.

Resposta

Intervalo de decrescimento: (-\infty,-1)
Intervalo de crescimento: (-1,\infty)
Mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=-2
Não existe máximo local.

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