Calcule a derivada de
g(x)=\int_{1}^{\cos x}(1+\operatorname{sen}(t)) d t

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=\int_{1}^{\cos x}\bigl(1+\sin(t)\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar uma integral com limite variável) e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos a integral como
g(x)=\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt
com a=1,
u(x)=\cos x
e
f(t)=1+\sin(t).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt = f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 4

Calculamos a derivada do limite superior:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr)=-\sin x.

Passo 5

Substituindo em g'(x)=f(u(x))\,u'(x), obtemos
g'(x)=\bigl(1+\sin(\cos x)\bigr)\cdot(-\sin x) =-\bigl(1+\sin(\cos x)\bigr)\,\sin x.

Resposta

g'(x)=-\bigl(1+\sin(\cos x)\bigr)\,\sin x.

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