Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=2+2 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a função
f(x)=2+2x^{2}-x^{4}
e determinar, usando o teste da primeira derivada, os intervalos onde f cresce ou decresce e localizar seus extremos (máximos e mínimos). Para isso vamos precisar calcular f'(x), encontrar seus zeros (pontos críticos) e analisar o sinal de f' em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Calcular a derivada primeira de f.
Como
f(x)=2+2x^{2}-x^{4},
temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr) =0+4x-4x^{3}.
Isolando fatores,
f'(x)=4x\,(1 - x^{2})=4x\,(1 - x)\,(1 + x).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
4x\,(1 - x)\,(1 + x)=0
implica
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Nos intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,\infty):
  • Para x<-1: o fator x é negativo, (1-x)>0 e (1+x)<0. Produto: negativ o\cdot positiv o\cdot negativo = positivo \Rightarrow f'>0.
  • Para -1<x<0: x<0, (1-x)>0, (1+x)>0. Produto: negativ o\cdot positiv o\cdot positivo = negativo \Rightarrow f'<0.
  • Para 0<x<1: x>0, (1-x)>0, (1+x)>0. Produto: positiv o\cdot positiv o\cdot positivo = positivo \Rightarrow f'>0.
  • Para x>1: x>0, (1-x)<0, (1+x)>0. Produto: positiv o\cdot negativ o\cdot positivo = negativo \Rightarrow f'<0.
Logo:
  • f cresce em (-\infty,-1) e (0,1).
  • f decresce em (-1,0) e (1,\infty).

Passo 5

Determinar os extremos usando o sinal de f':
  • Em x=-1: f' vai de positivo (antes) a negativo (depois) \Rightarrow máximo local.
  • Em x=0: f' vai de negativo a positivo \Rightarrow mínimo local.
  • Em x=1: f' vai de positivo a negativo \Rightarrow máximo local.
Calcular os valores de f nesses pontos:
f(-1)=2+2\cdot(-1)^{2}-(-1)^{4}=2+2-1=3,
f(0)=2+2\cdot0^{2}-0^{4}=2,
f(1)=2+2\cdot1^{2}-1^{4}=2+2-1=3.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-1) e (0,1).
Intervalos de decrescimento: (-1,0) e (1,\infty).
Máximos locais em x=-1 e x=1, ambos com valor f(-1)=f(1)=3.
Mínimo local em x=0 com valor f(0)=2.

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