Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a função
e determinar, usando o teste da primeira derivada, os intervalos onde
cresce ou decresce e localizar seus extremos (máximos e mínimos). Para isso vamos precisar calcular
, encontrar seus zeros (pontos críticos) e analisar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos.
Passo 2
Calcular a derivada primeira de
.
Como
Como
temos
Isolando fatores,
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
.
implica
Passo 4
Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Nos intervalos ,
,
e
:
Nos intervalos
- Para
: o fator é negativo, e . Produto: negativ ositiv egativo positivo . - Para
: , , . Produto: negativ ositiv ositivo negativo . - Para
: , , . Produto: positiv ositiv ositivo positivo . - Para
: , , . Produto: positiv egativ ositivo negativo .
Logo:
-
cresce em e . -
decresce em e .
Passo 5
Determinar os extremos usando o sinal de
:
- Em
: vai de positivo (antes) a negativo (depois) máximo local. - Em
: vai de negativo a positivo mínimo local. - Em
: vai de positivo a negativo máximo local.
Calcular os valores de
nesses pontos:
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
.
Intervalos de decrescimento: e
.
Máximos locais em e
, ambos com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Intervalos de decrescimento:
Máximos locais em
Mínimo local em