Em relação à função y=x^{4}-2 x^{2}+1
é correto afirmar:
Escolha uma ou mais:
I. É convexa em (-1 / 3,1 / 3).
II. É decrescente nos intervalos (-1,0) e (1, \infty).
III. É crescente nos intervalos (-1,0) e (1, \infty).
IV. Anula-se nos pontos -1,0 e 1 .
V. É concava em (-1 / 3,1 / 3).

Passo 1

Temos a função
y = x^{4} - 2x^{2} + 1
e precisamos verificar as propriedades de monotonicidade (crescente/decrescente), zeros e concavidade/convexidade em certos intervalos. Para isso, vamos usar a primeira e a segunda derivadas.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4} - 2x^{2} + 1\bigr) = 4x^{3} - 4x = 4x(x^{2} - 1) = 4x(x-1)(x+1).
Analisando os sinais de f'(x):
  • Para x<-1, tem-se f'(x)<0 (decrescente).
  • Para -1<x<0, tem-se f'(x)>0 (crescente).
  • Para 0<x<1, tem-se f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>1, tem-se f'(x)>0 (crescente).
    Logo, f é crescente em (-1,0) e em (1,\infty), o que faz a afirmação III verdadeira (e a II falsa).

Passo 3

Para os zeros, resolvemos
x^{4} - 2x^{2} + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; (x^{2}-1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.
Não há raiz em x=0. Portanto, a afirmação IV é falsa.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-4x\bigr) = 12x^{2} - 4 = 4\,(3x^{2}-1).
Temos f''(x)\le0 quando |x|\le \tfrac{1}{\sqrt3} (intervalo de concavidade) e f''(x)\ge0 quando |x|\ge \tfrac{1}{\sqrt3} (intervalo de convexidade). O intervalo \bigl(-\tfrac13,\tfrac13\bigr) está contido em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\tfrac{1}{\sqrt3}\bigr), logo f é côncava em \bigl(-\tfrac13,\tfrac13\bigr) (afirmação V verdadeira) e não convexa ali (afirmação I falsa).

Resposta

III e V

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