Calcule a derivada de
g(x)=\int_{x}^{2} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{x}^{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (versão que envolve limite variável) e a Regra da Cadeia para derivadas de integrais com limite dependente de x.

Passo 2

Para aplicar o Teorema Fundamental de forma direta, é conveniente inverter os limites da integral, usando
\int_{x}^{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt \;=\; -\int_{2}^{x}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Logo,
g(x) = -\int_{2}^{x}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
H(x)=\int_{2}^{x}f(t)\,dt,
então
H'(x)=f(x).
No nosso caso f(t)=\cos(t^{2}), então
\frac{d}{dx}\Bigl(\int_{2}^{x}\cos(t^{2})\,dt\Bigr)=\cos(x^{2}).
Como g(x)=-\int_{2}^{x}\cos(t^{2})\,dt, pela Regra da Cadeia obtemos
g'(x)=-\cos(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x) = -\cos(x^{2}).

Resposta

g'(x) = -\cos\bigl(x^{2}\bigr).

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