Calcular as integrais a seguir.
integral0^1 xx^2+3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 xx^2 + 3x + 2,dx
O conteúdo que vamos usar é integração de funções racionais por decomposição em frações parciais e a fórmula
integral 1x+a,dx = lnlvert x+arvert + C

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2+3x+2. Observamos que
x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)

Passo 3

Para decompor em frações parciais, escrevemos
x(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Isso significa que
x = A(x+2) + B(x+1)

Passo 4

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes em x e termo constante, temos
x = (A+B),x + (2A+B)
Para que isso seja igual a x + 0, exigimos
A + B = 1, 2A + B = 0
Resolvendo o sistema, obtemos A = -1 e B = 2.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, a integranda vira
x(x+1)(x+2) = -1x+1 + 2x+2
Logo
integral0^1 xx^2+3x+2,dx = integral0^1l(-1x+1 + 2x+2r),dx

Passo 6

Integramos cada termo usando a fórmula de logaritmo:
integral l(-1x+1 + 2x+2r),dx = -lnlvert x+1rvert + 2lnlvert x+2rvert + C

Passo 7

Agora avaliamos de 0 a 1:
l[-ln(x+1) + 2ln(x+2)r]0^1 = l(-ln2 + 2ln3r) - l(-ln1 + 2ln2r)
Como ln1=0, isso dá
-ln2 + 2ln3 - 2ln2 = 2ln3 - 3ln2 = ln9 - ln8 = ln!l(tfrac98r)

Resposta

ln!l(tfrac98r)

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