Calcular as integrais a seguir.
integral-1^1 y^5y+2 d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral-1^1 y^5y+2,dy
Esse é um caso de integral de função racional. O método mais direto é fazer a divisão polinomial de y^5 por y+2 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Realizando a divisão polinomial de y^5 por y+2, obtemos quociente e resto tais que
y^5y+2 = y^4-2y^3+4y^2-8y+16-32y+2

Passo 3

Podemos então reescrever o integrando como soma de termos mais simples:
y^5y+2 = y^4-2y^3+4y^2-8y+16 - 32y+2

Passo 4

Integrando termo a termo, uma primitiva é
integral y^5y+2,dy = integrall(y^4-2y^3+4y^2-8y+16r)dy ;-;32integral1y+2,dy
= y^55 ;-;y^42;+;4y^33;-;4y^2;+;16y ;-;32lnl|y+2r| + C

Passo 5

Avaliaremos essa primitiva de -1 a 1. Chamando
F(y)=y^55-y^42+4y^33-4y^2+16y-32lnl|y+2r|,
temos
F(1)=39130-32ln 3, F(-1)=-66130
Logo,
integral-1^1y^5y+2,dy =F(1)-F(-1) =l(tfrac39130-32ln3r)-l(-tfrac66130r) =52615-32ln3

Resposta

52615-32ln3

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