Considere o campo vetorial F(x, y)=(x-y) i+x y j.
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é o arco do semicírculo x^2+y^2=3, com y >= 0, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (x - y) i + x y j e precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r. O caminho C é o arco do semicírculo x^2+y^2=3, onde y >= 0, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, estamos somando o trabalho que o campo vetorial F faz ao longo da curva C. Para isso, precisamos parametrizar a curva C. Como C é um semicírculo de equação x^2+y^2=3 com y >= 0, podemos usar coordenadas polares para facilitar.
A equação x^2+y^2=3 representa um círculo de raio raiz3 centrado na origem. Para parametrizar o semicírculo superior, usamos:
x = raiz3 cos theta
y = raiz3 sin theta
Onde theta varia de 0 a pi para cobrir o semicírculo no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora que temos a parametrização, vamos encontrar dr. A derivada de r(theta) = raiz3 cos theta , i + raiz3 sin theta , j em relação a theta é:
drdtheta = -raiz3 sin theta , i + raiz3 cos theta , j
Então, dr = drdtheta dtheta = (-raiz3 sin theta , i + raiz3 cos theta , j) dtheta.

Passo 4

Vamos agora substituir x e y na função F pela parametrização que encontramos:
F(x, y) = (raiz3 cos theta - raiz3 sin theta) i + (raiz3 cos theta)(raiz3 sin theta) j
F(theta) = raiz3 (cos theta - sin theta) i + 3 cos theta sin theta j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = [ raiz3 (cos theta - sin theta) ] [ -raiz3 sin theta ] + [ 3 cos theta sin theta ] [ raiz3 cos theta ]
Simplificando:
= -3 (cos theta - sin theta) sin theta + 3raiz3 cos^2 theta sin theta

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de theta = 0 a theta = pi:
integral0^pi [ -3 (cos theta sin theta - sin^2 theta) + 3raiz3 cos^2 theta sin theta ] dtheta
Vamos integrar termo a termo:
-3 integral0^pi cos theta sin theta , dtheta + 3 integral0^pi sin^2 theta , dtheta + 3raiz3 integral0^pi cos^2 theta sin theta , dtheta

Passo 7

Calculando cada integral:
  1. Para integral cos theta sin theta , dtheta, use a substituição u = cos theta, du = -sin theta dtheta:
-32 (cos^2 theta) g|0^pi = -32 [cos^2 pi - cos^2 0] = -32 [1 - 1] = 0
  1. Para integral sin^2 theta , dtheta, use a identidade sin^2 theta = 1 - cos 2theta2:
3 cdot 12 [ theta - sin 2theta2 ] g|0^pi = 32 [pi - 0] = 3pi2
  1. Para integral cos^2 theta sin theta , dtheta, use a substituição u = cos theta, du = -sin theta dtheta:
-3raiz3 integral u^2 du = -3raiz3 cdot u^33 g|1^-1 = -raiz3 [(-1)^3 - (1)^3] = -raiz3 (-2) = 2raiz3

Passo 8

Somando todas as partes:
0 + 3pi2 + 2raiz3 = 3pi2 + 2raiz3

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac3,pi2 + 2,raiz3.

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