Considere o campo vetorial .
Calcule a integral de linha , onde é o arco do semicírculo , com , percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha . O caminho é o arco do semicírculo , onde , percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, estamos somando o trabalho que o campo vetorial faz ao longo da curva . Para isso, precisamos parametrizar a curva . Como é um semicírculo de equação com , podemos usar coordenadas polares para facilitar.
A equação representa um círculo de raio centrado na origem. Para parametrizar o semicírculo superior, usamos:
Onde varia de a para cobrir o semicírculo no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora que temos a parametrização, vamos encontrar . A derivada de em relação a é:
Então, .
Passo 4
Vamos agora substituir e na função pela parametrização que encontramos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Calculando cada integral:
Para , use a substituição , :
Para integral sin^2 theta , dtheta, use a identidade sin^2 theta = 1 - cos 2theta2: