Dado uma função f:[0, L] R. Considere o problema de condução de calor em uma barra de comprimento L>0 :
(P) ut & =ux x, & & 0<x<L, t>0 ux(0, t) & =ux(L, t)=0, & & t>0 u(x, 0) & =f(x), & & 0<x<L
Use o método de separação de variáveis para encontrar a função u(x, t) solução do problema (P). A série que define à solução converge uniformemente? As condições iniciais são verificadas? Justifique seus resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de condução de calor numa barra de comprimento L . A equação que descreve como a temperatura u(x, t) muda ao longo do tempo e do espaço é a equação do calor:
ut = uxx
Além disso, temos condições de contorno que dizem que a derivada da temperatura nos extremos da barra é zero, ou seja, ux(0, t) = ux(L, t) = 0 , e uma condição inicial u(x, 0) = f(x) . Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a função u(x, t) que resolve esse problema. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções separadas, uma só depende de x e a outra só de t . Ou seja:
u(x, t) = X(x) T(t)
Essa é a ideia central da separação de variáveis: transformar uma equação que depende de duas variáveis em duas equações que dependem de uma só cada.

Passo 3

Agora, substituímos u(x, t) = X(x) T(t) na equação do calor:
ut = X(x) T'(t)
uxx = X''(x) T(t)
Então, a equação do calor fica:
X(x) T'(t) = X''(x) T(t)

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis:
T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinais:
  1. Para T(t) :
T'(t) + lambda T(t) = 0
  1. Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a equação para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno X'(0) = X'(L) = 0 . Essa é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com soluções harmônicas. As soluções não-triviais existem apenas para certos valores de lambda , que vamos encontrar.

Passo 6

Vamos considerar diferentes casos para lambda :
  1. lambda = 0 :
X''(x) = 0 implies X(x) = A + Bx
Aplicando X'(0) = 0 :
X'(x) = B implies B = 0 implies X(x) = A
Mas, aplicando X'(L) = 0 , já temos B = 0 . Então, lambda = 0 dá apenas a solução constante.
  1. lambda > 0 :
X''(x) + lambda X(x) = 0 implies X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)
Aplicando X'(0) = 0 :
X'(0) = B raizlambda = 0 implies B = 0
Então, X(x) = A cos(raizlambda x) . Aplicando X'(L) = 0 :
X'(L) = -A raizlambda sin(raizlambda L) = 0 implies sin(raizlambda L) = 0
Isso ocorre quando raizlambda L = n pi , para n = 0, 1, 2, ldots . Então, lambdan = ( n piL )^2 .

Passo 7

Com os valores de lambdan , podemos escrever as soluções para Xn(x) :
Xn(x) = An cos( n pi xL )
Agora, vamos resolver a equação para Tn(t) :
Tn'(t) + lambdan Tn(t) = 0 implies Tn(t) = Cn e^-lambdan t

Passo 8

Assim, cada modo de vibração é dado por:
un(x, t) = Xn(x) Tn(t) = An cos( n pi xL ) e^-( n piL )^2 t
A solução geral é a soma de todos esses modos:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos( n pi xL ) e^-( n piL )^2 t

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial u(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=0^infty An cos( n pi xL )
Isso significa que os coeficientes An são os coeficientes de Fourier da função f(x) na base dos cossenos. Ou seja:
An = 2L integral0^L f(x) cos( n pi xL ) dx

Passo 10

Portanto, a solução completa do problema é:
u(x, t) = sumn=0^infty ( 2L integral0^L f(xi) cos( n pi xiL ) dxi ) cos( n pi xL ) e^-( n piL )^2 t

Passo 11

Sobre a convergência da série, como estamos lidando com uma série de funções cuja soma envolve termos exponenciais que decaem no tempo e funções trigonométricas limitadas, a série converge uniformemente para u(x, t) em [0, L] para todo t >= 0 .

Passo 12

Finalmente, verificamos as condições iniciais. Ao substituir t = 0 na solução, temos:
u(x, 0) = sumn=0^infty An cos( n pi xL ) = f(x)
Isso confirma que as condições iniciais são satisfeitas, já que a série de Fourier dos cossenos representa exatamente a função f(x) .

Resposta

A solução do problema é dada por
u(x, t) = sumn=0^infty ( 2L integral0^L f(xi) cos( n pi xiL ) dxi ) cos( n pi xL ) e^-( n piL )^2 t
Essa série converge uniformemente em [0, L] para todo t >= 0 e satisfaz as condições iniciais u(x, 0) = f(x) , pois representa a expansão em série de Fourier da função inicial.

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