Calcular as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão quadrática dentro da raiz. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais com quadrados completos. Precisamos completar o quadrado na expressão
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão
. Completar o quadrado significa reescrever a expressão na forma
.
Para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é 4, divida por 2 e eleve ao quadrado: . - Reescreva a expressão adicionando e subtraindo esse valor:
.
Então,
.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão completada na integral:
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos chamar
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
A integral passa a ser:
Passo 4
A integral
é uma forma padrão que resulta em uma função inversa hiperbólica ou logarítmica. A fórmula para essa integral é:
Aqui,
, então aplicamos a fórmula:
Passo 5
Aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Calculamos cada parte:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Ou, simplificando: