Calcular as integrais a seguir.
integral0^1 d xraizx^2+4 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1 dxraizx^2+4x+5. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão quadrática dentro da raiz. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de integração de funções racionais com quadrados completos. Precisamos completar o quadrado na expressão x^2 + 4x + 5 para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão x^2 + 4x + 5. Completar o quadrado significa reescrever a expressão na forma (x + a)^2 + b.
Para x^2 + 4x + 5:
  1. Pegue o coeficiente de x, que é 4, divida por 2 e eleve ao quadrado: (42)^2 = 4.
  2. Reescreva a expressão adicionando e subtraindo esse valor: x^2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)^2 + 1.
Então, x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão completada na integral:
integral0^1 dxraiz(x + 2)^2 + 1
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição. Vamos chamar u = x + 2, então du = dx. Quando x = 0, u = 2, e quando x = 1, u = 3.
A integral passa a ser:
integral2^3 duraizu^2 + 1

Passo 4

A integral integral duraizu^2 + 1 é uma forma padrão que resulta em uma função inversa hiperbólica ou logarítmica. A fórmula para essa integral é:
integral duraizu^2 + a^2 = ln|u + raizu^2 + a^2| + C
Aqui, a = 1, então aplicamos a fórmula:
integral duraizu^2 + 1 = ln|u + raizu^2 + 1| + C

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
ln|u + raizu^2 + 1||2^3 = ln(3 + raiz3^2 + 1) - ln(2 + raiz2^2 + 1)
Calculamos cada parte:
ln(3 + raiz9 + 1) = ln(3 + raiz10)
ln(2 + raiz4 + 1) = ln(2 + raiz5)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
ln(3 + raiz10) - ln(2 + raiz5)
Ou, simplificando:
ln(3 + raiz102 + raiz5)

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