Considere o campo vetorial
.
Mostre que o campo
é conservativo.
Mostre que o campo
Passo 1
O campo vetorial dado é
Queremos mostrar que
é conservativo, isto é, existe uma função potencial
tal que
Em
(domínio simplesmente conectado), basta verificar se
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a condição de integrabilidade está satisfeita.
Passo 3
O domínio de
é
, que é simplesmente conectado, e a igualdade das derivadas cruzadas garante que
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração cujo valor depende só de
. Agora impomos
Daí vem
Portanto
é uma função potencial de
.
Resposta
Uma função potencial é