Considere o campo vetorial F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j.
Mostre que o campo F é conservativo.

Passo 1

O campo vetorial dado é
F(x,y) = P(x,y),i + Q(x,y),j com P(x,y) = 3 + 2xy, ;Q(x,y) = x^2 - 3y^2
Queremos mostrar que F é conservativo, isto é, existe uma função potencial f(x,y) tal que
nabla f = F
Em R^2 (domínio simplesmente conectado), basta verificar se
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(3 + 2xyr) = 2x,
partial Qpartial x = partialpartial xl(x^2 - 3y^2r) = 2x
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a condição de integrabilidade está satisfeita.

Passo 3

O domínio de F é R^2, que é simplesmente conectado, e a igualdade das derivadas cruzadas garante que F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral P(x,y),dx = integral (3 + 2xy),dx = 3x + x^2y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração cujo valor depende só de y. Agora impomos
partial fpartial y = x^2 + h'(y) stackrel!= Q(x,y) = x^2 - 3y^2
Daí vem
h'(y) = -3y^2 Longrightarrow h(y) = -y^3 + C
Portanto
f(x,y) = 3x + x^2y - y^3 + C
é uma função potencial de F.

Resposta

F é conservativo, pois partial P/partial y = partial Q/partial x em R^2.
Uma função potencial é
f(x,y) = 3x + x^2y - y^3 + C

Exercícios relacionados