Beleza, vamos resolver essa integral que é . Nosso objetivo aqui é calcular o valor dessa integral definida. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . A ideia é fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Então, vamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, porque (-1) * (-2) = 2 e (-1) + (-2) = -3. Portanto, podemos fatorar o denominador assim:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos reescrever a integral usando frações parciais. A ideia das frações parciais é expressar como a soma de duas frações mais simples:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores estratégicos para x que tornam a equação mais fácil de resolver. Se colocarmos , temos:
De maneira similar, se colocarmos , obtemos:
Então, A = -1 e B = 1.
Passo 5
Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a integral original usando essas constantes:
Isso simplifica a integral para duas integrais mais simples que podemos resolver separadamente.
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente. A integral de em relação a x é , onde C é a constante de integração. Aplicando isso aos nossos termos:
e
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 3 a 4. Isso significa que substituímos x por 4 e depois por 3 e subtraímos os resultados:
Para x = 4:
-ln|4 - 1| + ln|4 - 2| = -ln(3) + ln(2)
Para x = 3:
-ln|3 - 1| + ln|3 - 2| = -ln(2) + ln(1)
Lembrando que ln(1) = 0, pois qualquer número elevado a 0 é 1.
Passo 8
Agora, fazemos a diferença entre os valores calculados nos limites: