Calcular as integrais a seguir.
integral3^4 d xx^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral3^4 dxx^2 - 3x + 2. Nosso objetivo aqui é calcular o valor dessa integral definida. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^2 - 3x + 2. A ideia é fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Então, vamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, porque (-1) * (-2) = 2 e (-1) + (-2) = -3. Portanto, podemos fatorar o denominador assim:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos reescrever a integral usando frações parciais. A ideia das frações parciais é expressar 1(x - 1)(x - 2) como a soma de duas frações mais simples:
1(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)(x - 2) para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 2) + B(x - 1)
Agora, escolhemos valores estratégicos para x que tornam a equação mais fácil de resolver. Se colocarmos x = 2, temos:
1 = A(2 - 2) + B(2 - 1) 1 = 0 + B(1) B = 1
De maneira similar, se colocarmos x = 1, obtemos:
1 = A(1 - 2) + B(1 - 1) 1 = A(-1) + 0 A = -1
Então, A = -1 e B = 1.

Passo 5

Com os valores de A e B encontrados, podemos reescrever a integral original usando essas constantes:
integral3^4 dxx^2 - 3x + 2 = integral3^4 ( -1x - 1 + 1x - 2 ) dx
Isso simplifica a integral para duas integrais mais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente. A integral de 1x - a em relação a x é ln|x - a| + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso aos nossos termos:
integral -1x - 1 dx = -ln|x - 1|
e
integral 1x - 2 dx = ln|x - 2|
Então, a integral completa fica:
-ln|x - 1| + ln|x - 2| |3^4

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 3 a 4. Isso significa que substituímos x por 4 e depois por 3 e subtraímos os resultados:
Para x = 4:
-ln|4 - 1| + ln|4 - 2| = -ln(3) + ln(2)
Para x = 3:
-ln|3 - 1| + ln|3 - 2| = -ln(2) + ln(1)
Lembrando que ln(1) = 0, pois qualquer número elevado a 0 é 1.

Passo 8

Agora, fazemos a diferença entre os valores calculados nos limites:
( -ln(3) + ln(2) ) - ( -ln(2) + 0 ) = -ln(3) + ln(2) + ln(2) = -ln(3) + 2ln(2)
Podemos simplificar isso ainda mais usando propriedades dos logaritmos:
2ln(2) = ln(2^2) = ln(4)
Então,
-ln(3) + ln(4) = ln(43)

Resposta

O valor da integral definida é ln(43).

Exercícios relacionados