Calcular as integrais a seguir.
integral0^1 z^3z^8+1 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 z^3z^8+1 , dz. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos a integral integral z^3z^8+1 , dz. A ideia aqui é simplificar essa fração para facilitar a integração. Notamos que o denominador z^8 + 1 pode ser relacionado com o numerador z^3 através de uma substituição adequada.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = z^4. Com essa substituição, precisamos encontrar du em termos de dz:
u = z^4 du = 4z^3 , dz Rightarrow z^3 , dz = du4

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral z^3z^8+1 , dz = integral 1z^8+1 cdot z^3 , dz = integral 1u^2 + 1 cdot du4 = 14 integral 1u^2 + 1 , du

Passo 5

A integral integral 1u^2 + 1 , du é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente. Então, resolvendo essa integral:
14 integral 1u^2 + 1 , du = 14 arctan(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original z substituindo u = z^4:
14 arctan(u) + C = 14 arctan(z^4) + C

Passo 7

Como nossa integral é definida de 0 a 1, vamos calcular os limites de integração. Quando z = 0, u = 0^4 = 0. Quando z = 1, u = 1^4 = 1. Assim, a integral definida fica:
14 [ arctan(1) - arctan(0) ]

Passo 8

Sabemos que arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0. Substituindo esses valores:
14 ( pi4 - 0 ) = pi16

Resposta

A integral integral0^1 z^3z^8+1 , dz é igual a pi16.

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