Calcular as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, observamos a integral
. A ideia aqui é simplificar essa fração para facilitar a integração. Notamos que o denominador
pode ser relacionado com o numerador
através de uma substituição adequada.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Com essa substituição, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
A integral
é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente. Então, resolvendo essa integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 7
Como nossa integral é definida de 0 a 1, vamos calcular os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
. Assim, a integral definida fica:
Passo 8
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A integral
é igual a
.