Calcular as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas para integrar funções que envolvem raízes quadradas de polinômios do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Olha só:
Vamos reorganizar os termos:
Agora, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
- Pegamos os coeficientes de
, que é -4. - Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. - Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, a integral fica mais simples:
Sabemos que a integral de
é
. Comparando, temos:
-
(já que ) -
Então, a integral indefinida é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
E para
:
Então, a diferença é:
Resposta
A integral vale
. Se preferir um valor numérico aproximado, usando uma calculadora, teremos aproximadamente
radianos.