Calcular as integrais a seguir.
integral2^710 d xraiz5+4 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral definida de 1raiz5 + 4x - x^2 no intervalo de x = 2 até x = 710 . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas para integrar funções que envolvem raízes quadradas de polinômios do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Olha só:
5 + 4x - x^2
Vamos reorganizar os termos:
-x^2 + 4x + 5
Agora, fatoramos o coeficiente de x^2 :
-(x^2 - 4x - 5)
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
  1. Pegamos os coeficientes de x , que é -4.
  2. Dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: (-42)^2 = 4 .
  3. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
-( (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5 )
-( (x - 2)^2 - 9 )
9 - (x - 2)^2
Então, a expressão original fica:
raiz5 + 4x - x^2 = raiz9 - (x - 2)^2

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral2^710 dxraiz9 - (x - 2)^2
Sabemos que a integral de 1raiza^2 - (x - h)^2 é arcsin(x - ha) + C . Comparando, temos:
  • a = 3 (já que 3^2 = 9 )
  • h = 2
Então, a integral indefinida é:
arcsin(x - 23) + C

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 a 710 :
[ arcsin(x - 23) ]2^710
Calculando para x = 710 :
arcsin(710 - 23) = arcsin(-1330)
E para x = 2 :
arcsin(2 - 23) = arcsin(0) = 0
Então, a diferença é:
arcsin(-1330) - 0 = arcsin(-1330)

Resposta

A integral vale arcsin(-1330) . Se preferir um valor numérico aproximado, usando uma calculadora, teremos aproximadamente -0,436 radianos.

Exercícios relacionados