Calcular as integrais a seguir.
integral0^1 y^2raizy^6+4 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 y^2raizy^6+4,dy
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a forma y^2,dy combina bem com a derivada de y^3, sugerindo uma substituição simples.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=y^3. Então
du = 3y^2,dy
ou seja y^2,dy = tfrac13,du. Os limites em u vão de u(0)=0 até u(1)=1. Substituindo, a integral vira
integral0^1 y^2raizy^6+4,dy = 13integral0^1duraizu^2+4

Passo 3

Agora reconhecemos a integral padrão
integral duraizu^2+4 = lnl(u + raizu^2+4r)
mais uma constante. Então no nosso caso
13integral0^1duraizu^2+4 = 13l[lnl(u+raizu^2+4r)r]0^1

Passo 4

Avalia nos limites:
lnl(1+raiz1+4r)-lnl(0+raiz0+4r) = lnl(1+raiz5r)-ln(2) = ln!l(1+raiz52r)
Multiplicando pelo fator tfrac13, obtemos
13ln!l(1+raiz52r)

Resposta

13ln!l(1+raiz52r)

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