Calcular as integrais a seguir.
Passo 1
Estamos com a integral definida de uma função de $x$ que envolve \sin(ln\,x)\ e o diferencial \/x\. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos \ln\,x\ dentro do seno e um fator \/x\ que sugere \displaystyle t = \ln x\.
Passo 2
Fazendo a troca de variável: definimos \displaystyle t = \ln x\, então \displaystyle dt = \frac{dx}{x}\. Os limites mudam de \displaystyle x=1\ para \displaystyle t=0\ e de \displaystyle x=e\ para \displaystyle t=1\. Assim reescrevemos a integral como
[\int_{1}^{e} \frac{\sin(\ln x)}{x}\,dx \;=\; \int_{0}^{1} \sin(t)\,dt].
[\int_{1}^{e} \frac{\sin(\ln x)}{x}\,dx \;=\; \int_{0}^{1} \sin(t)\,dt].
Passo 3
Agora integramos \sin(t)\ em relação a \displaystyle t\. Lembrando da primitiva de seno, temos
[\int \sin(t)\,dt = -\cos(t)].
[\int \sin(t)\,dt = -\cos(t)].
Passo 4
Por fim, avaliamos essa antiderivada nos limites de \displaystyle t=0\ e \displaystyle t=1\:
[(-\cos(t))\Big|_{0}^{1} = -\cos(1) + \cos(0) = 1 - \cos(1)].
[(-\cos(t))\Big|_{0}^{1} = -\cos(1) + \cos(0) = 1 - \cos(1)].
Resposta
1 - \cos(1)