Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
ointC x^2 y^2 d x+x y d y
onde C consiste no arco de parábola y=x^2 de (0,0) a (2,4), e os segmentos de reta de (2,4) a (0,4) e depois de (0,4) à origem.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointC x^2y^2,dx + x y,dy
onde C é o caminho fechado formado pelo arco de parábola y = x^2 de (0,0) a (2,4), depois o segmento de reta de (2,4) a (0,4) e, por fim, o segmento de reta de (0,4) à origem. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região D delimitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointC P,dx + Q,dy ;=; integral duplaD l(partial Qpartial x ;-;partial Ppartial yr),dA
Aqui P(x,y)=x^2y^2 e Q(x,y)=x y. Calculamos:
partial Qpartial x = y, partial Ppartial y = 2x^2y
Logo o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y ;-; 2x^2y = y,(1 - 2x^2)

Passo 3

A região D é aquela entre a parábola y = x^2 (embaixo) e a reta y = 4 (embaixo), para 0<= x<= 2. Portanto podemos escrever
integral duplaD y,(1-2x^2),dA =integralx=0^2!integraly=x^2^4 y,(1-2x^2),dy,dx

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
integraly=x^2^4 y,(1-2x^2),dy =(1-2x^2)integraly=x^2^4 y,dy =(1-2x^2)[y^22]y=x^2^4 =(1-2x^2)l(8-tfracx^42r)
Expandindo,
(1-2x^2)l(8-tfracx^42r) =8 -16x^2 -tfracx^42 + x^6

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^2l(8 -16x^2 -tfracx^42 + x^6r),dx = l[8x - tfrac16x^33 - tfracx^510 + tfracx^77r]0^2
Avalia em x=2:
8cdot2 - tfrac16cdot2^33 - tfrac2^510 + tfrac2^77 =16 - tfrac1283 - tfrac3210 + tfrac1287 =16 - tfrac1283 - tfrac165 + tfrac1287
Comum denominador 105 resulta
-2800 -336 +1920105 = -1216105

Resposta

-1216105

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