Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
consiste no arco de parábola
de
a
, e os segmentos de reta de
a
e depois de
à origem.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é o caminho fechado formado pelo arco de parábola
de
a
, depois o segmento de reta de
a
e, por fim, o segmento de reta de
à origem. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
Aqui
e
. Calculamos:
Logo o integrando é
Passo 3
A região
é aquela entre a parábola
(embaixo) e a reta
(embaixo), para
. Portanto podemos escrever
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Expandindo,
Passo 5
Agora integramos em
:
Avalia em
:
Comum denominador
resulta