Calcular as integrais a seguir.
integralln 2^ln 3 d xcosh ^2 x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos calcular a integral definida de 1cosh^2x entre ln 2 e ln 3 . Isso faz parte do cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar 1cosh^2x e entender um pouco sobre funções hiperbólicas como o seno hiperbólico ( sinh ) e o cosseno hiperbólico ( cosh ).

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a antiderivada de 1cosh^2x . Sabemos que a derivada da função tanh x é 1cosh^2x . Então, a antiderivada de 1cosh^2x é tanh x . Ou seja:
integral dxcosh^2x = tanh x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo para avaliar a integral definida entre os limites ln 2 e ln 3 :
integralln 2^ln 3 dxcosh^2x = tanh(ln 3) - tanh(ln 2)
Para calcular tanh(ln a) , onde a é um número positivo, usamos a definição de tangente hiperbólica:
tanh x = e^x - e^-xe^x + e^-x
Substituindo x = ln a :
tanh(ln a) = a - 1aa + 1a = a^2 - 1a^2 + 1

Passo 4

Vamos calcular tanh(ln 3) e tanh(ln 2) :
tanh(ln 3) = 3^2 - 13^2 + 1 = 9 - 19 + 1 = 810 = 45
tanh(ln 2) = 2^2 - 12^2 + 1 = 4 - 14 + 1 = 35

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
45 - 35 = 15
Então, a integral vale 15 .

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