Encontre um valor para a constante , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= 9 - x^2, & x >= 0, dfrackx^2, & x < 0
Queremos encontrar k de modo que f seja contínua em todo R. Como cada ramo é contínuo em seu domínio, só precisamos verificar o ponto x=0, onde a definição muda.
Passo 2
Calculamos o valor de f em x=0. Pela definição do ramo para x>=0,
f(0)=9-0^2=9
Passo 3
A continuidade em x=0 exige que
limxto0^-f(x)=f(0)=limxto0^+f(x)
Já temos
limxto0^+f(x)=limxto0^+(9-x^2)=9,
logo a condição à direita está satisfeita. Falta a condição à esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-kx^2
Passo 4
Se kneq0, então kx^2topminfty quando xto0, e o limite não é finito. Se k=0, então kx^2=0 para todo xneq0, de modo que
limxto0^-kx^2=0
Para igualar a f(0)=9, precisaríamos de 0=9, o que é impossível. Portanto não há escolha de k que faça os dois limites laterais coincidirem com f(0).
Resposta
Não existe valor de k que torne f contínua em toda parte.