Encontre um valor para a constante k, se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.
f(x)=ll9-x^2, & x >= 0 k / x^2, & x<0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 9 - x^2, & x >= 0, dfrackx^2, & x < 0
Queremos encontrar k de modo que f seja contínua em todo R. Como cada ramo é contínuo em seu domínio, só precisamos verificar o ponto x=0, onde a definição muda.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=0. Pela definição do ramo para x>=0,
f(0)=9-0^2=9

Passo 3

A continuidade em x=0 exige que
limxto0^-f(x)=f(0)=limxto0^+f(x)
Já temos
limxto0^+f(x)=limxto0^+(9-x^2)=9,
logo a condição à direita está satisfeita. Falta a condição à esquerda:
limxto0^-f(x)=limxto0^-kx^2

Passo 4

Se kneq0, então kx^2topminfty quando xto0, e o limite não é finito. Se k=0, então kx^2=0 para todo xneq0, de modo que
limxto0^-kx^2=0
Para igualar a f(0)=9, precisaríamos de 0=9, o que é impossível. Portanto não há escolha de k que faça os dois limites laterais coincidirem com f(0).

Resposta

Não existe valor de k que torne f contínua em toda parte.

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