. Nos seguintes problemas, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(2 y^2 x-3) d x+(2 y x^2+4) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação (2y^2x - 3),dx + (2yx^2 + 4),dy = 0 é exata e, sendo exata, encontrar sua solução implícita. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem exatas e vamos precisar usar a condição de exatidão partial Mpartial y = partial Npartial x e o conceito de função potencial.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = 2xy^2 - 3 e N(x,y) = 2yx^2 + 4. Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4xy e partial Npartial x = 4xy
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que psix = M e psiy = N. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integral(2xy^2 - 3),dx = x^2y^2 - 3x + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
psiy = 2x^2y + h'(y) stackrel!= 2yx^2 + 4Longrightarrow h'(y) = 4
Integrando, h(y)=4y. Logo, a função potencial é
psi(x,y)=x^2y^2-3x+4y
e a solução implícita fica
x^2y^2-3x+4y = C

Resposta

A solução geral é
x^2y^2 - 3x + 4y = C

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