. Nos seguintes problemas, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é exata e, sendo exata, encontrar sua solução implícita. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem exatas e vamos precisar usar a condição de exatidão
e o conceito de função potencial.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função só de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando,
. Logo, a função potencial é
e a solução implícita fica
Resposta
A solução geral é