Calcular as integrais a seguir.
integral0^raiz22 d xraiz1-x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^raiz22 dxraiz1-x^2. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a relação entre integrais e funções trigonométricas inversas, como o arco seno.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função dentro da integral é 1raiz1 - x^2. Sabemos que a derivada da função arcsin(x) é exatamente 1raiz1 - x^2. Isso significa que a integral de 1raiz1 - x^2 em relação a x é a função arcsin(x).

Passo 3

Agora, aplicamos o teorema fundamental do cálculo para calcular a integral definida. Isso significa que vamos avaliar a função primitiva arcsin(x) nos limites de integração e subtrair os valores:
arcsin(raiz22) - arcsin(0)

Passo 4

Calculamos cada termo:
  • arcsin(raiz22) é o ângulo cujo seno é raiz22. Esse ângulo é pi4 radianos.
  • arcsin(0) é o ângulo cujo seno é 0, que é 0 radianos.

Resposta

Portanto, a integral vale:
pi4 - 0 = pi4

Exercícios relacionados