Calcule integralegral duplaS F d s, onde F(x, y, z)=3 x i+xy j+2 xz k, E é o cubo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=3x,i+xy,j+2xz,k através da superfície fechada S do cubo E:[0,1]times[0,1]times[0,1].
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (Gauss), que diz que
integral duplaSFcdot ds =integral triplaEnablacdotF,dV

Passo 2

Vamos calcular primeiro a divergência de F. Por definição,
nablacdotF =partialpartial x(3x) +partialpartial y(xy) +partialpartial z(2xz)

Passo 3

Derivando cada termo, obtemos
partialpartial x(3x)=3, partialpartial y(xy)=x, partialpartial z(2xz)=2x
Logo,
nablacdotF=3+x+2x=3+3x

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdot ds =integral triplaE(3+3x),dV =integral0^1!!integral0^1!!integral0^1(3+3x),dz,dy,dx
Como a função não depende de y nem de z, a integração em y,z acelera e fica
integral0^1(3+3x),dx =l[3x+tfrac32x^2r]0^1 =3+tfrac32 =tfrac92

Resposta

92

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