Calcule integralegral duplaS F d s, onde F(x, y, z)=y i+x j+z k e S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e o plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo
integral duplaSFcdot ds,
onde F(x,y,z)=y,i+x,j+z,k e S é a superfície fechada que delimita o sólido E sob o paraboloide z=1-x^2-y^2 e acima do plano z=0.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que o fluxo de F por S é igual ao volume do integral da divergência de F em E.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(y) +partialpartial y(x) +partialpartial z(z) =0+0+1 =1

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo vale
integral duplaSFcdot ds =integral triplaE(nablacdotF),dV =integral triplaE1,dV =Volume(E)

Passo 4

Para achar o volume de E, usamos coordenadas cilíndricas. A projeção no plano xy é o disco r<=1, e z varia de 0 até 1-r^2. Logo,
Volume(E) =integral0^2pi!!integral0^1!!integral0^,1-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Executando as integrações em sequência:
integral0^1-r^2dz=1-r^2,
integral0^1(1-r^2),r,dr =integral0^1(r-r^3),dr =l[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14,
integral0^2pitfrac14,dtheta =tfrac14cdot2pi =tfracpi2

Resposta

pi2

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