Calcule
, onde
e
é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do fluxo
,
onde e
é a superfície fechada que delimita o sólido
sob o paraboloide
e acima do plano
.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que o fluxo de por
é igual ao volume do integral da divergência de
em
.
onde
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz que o fluxo de
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo vale
Passo 4
Para achar o volume de
, usamos coordenadas cilíndricas. A projeção no plano
é o disco
, e
varia de
até
. Logo,
Passo 5
Executando as integrações em sequência: