Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=0^infty n(-3)^n4^n-1

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série
sumn=0^infty n(-3)^n4^,n-1
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Esse é um exercício de séries numéricas; vamos reescrever o termo geral e usar o teste da razão para a série de módulos.

Passo 2

Note que
4^,n-1=4^,n4,
logo o termo geral pode ser reescrito como
an=n(-3)^n4^,n-1 =4nl(-tfrac34r)^n

Passo 3

Para testar convergência absoluta, consideramos
sumn=0^infty|an| =4sumn=0^inftynl(tfrac34r)^n
Aplicando o teste da razão,
L =limntoinfty(n+1),(3/4)^,n+1n,(3/4)^,n =limntoinftyn+1ncdot34 =34<1
Como L<1, a série dos módulos converge.

Passo 4

A convergência da série de módulos implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados