Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=0^infty n!(-10)^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=0^infty n!(-10)^n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da razão para avaliar a convergência absoluta e também verificar se o termo geral tende a zero, condição necessária para qualquer convergência.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=0^infty |n!(-10)^n| = sumn=0^infty n!10^n
Aplicamos o teste da razão a bn = tfracn!10^n:
L = limntoinfty bn+1bn = limntoinfty (n+1)!/10^,n+1n!/10^,n = limntoinfty n+110 = infty
Como L>1, a série sum bn diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para haver qualquer tipo de convergência, é necessário que o termo geral an = tfracn!(-10)^n tenda a zero quando ntoinfty. Observamos que
|an| = n!10^n
cresce sem limite (pode-se ver pelo teste da razão que n!/10^ntoinfty), portanto
limntoinfty an neq 0
Se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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