Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral tg^2 x cdot sen^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tg^2x cdot sen^3x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades (converter tangente em senos e cossenos) e substituição para simplificar.

Passo 2

Usamos tan^2 x = sin^2 xcos^2 x, então o integrando fica sin^5 xcos^2 x. Observamos que podemos escrever sin^5 x = (sin^4 x)sin x = (1-cos^2 x)^2sin x, facilitando usar substituição.

Passo 3

Fazendo a substituição u = cos x, temos du = -sin x,dx ou sin x,dx = -du. Assim a integral passa a ser
-integral (1-u^2)^2u^2,du, que pode ser expandida antes de integrar.

Passo 4

Expandindo (1-u^2)^2u^2 = u^-2 - 2 + u^2, a integral fica
-integral (u^-2 - 2 + u^2),du. Integramos termo a termo:
-integral u^-2,du + 2integral du - integral u^2,du, resultando em u^-1 + 2u - tfracu^33 + C.

Passo 5

Voltando para x com u = cos x, obtemos
sec x + 2cos x - cos^3 x3 + C

Resposta

sec x + 2cos x - tfraccos^3 x3 + C

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