Calcular a integral:
integral raizx(6 x^2-3x) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral
integral raizx,l(6x^2 - tfrac3xr),dx
Conteúdo envolvido: integração de potências de x usando a “regra do poder” (ou regra da potência).
O que vamos precisar:
  1. Reescrever raizx como x^1/2.
  2. Expandir o produto para obter somas de potências de x.
  3. Aplicar a fórmula
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, n neq -1

Passo 2

Primeiro, reescrevo raizx=x^1/2 e distribuo:
x^1/2cdot 6x^2 = 6,x^2 + 1/2 = 6,x^5/2, x^1/2cdotl(-3xr) = -3,x^1/2 -1 = -3,x^-1/2
Logo a integral vira
integral l(6x^5/2 - 3x^-1/2r),dx

Passo 3

Teoria: Regra do poder. Se temos integral x^n,dx, a antiderivada é
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C,
desde que n neq -1.
Aqui cada termo é do tipo x^n, só que com coeficiente na frente.

Passo 4

Agora integro termo a termo:
  1. Para 6x^5/2:
    • O expoente é n = 5/2, então n+1 = 7/2.
    • Logo
integral 6x^5/2,dx = 6 ,x^7/27/2 = 6cdot27,x^7/2 = 127,x^7/2
  1. Para -3x^-1/2:
    • Aqui n = -1/2, então n+1 = 1/2.
    • Assim
integral -3x^-1/2,dx = -3,x^1/21/2 = -3cdot 2,x^1/2 = -6,x^1/2

Passo 5

Basta somar as duas partes e colocar a constante C:
127,x^7/2 ;-; 6,x^1/2 ;+; C

Resposta

boxed127,x^7/2 ;-; 6,x^1/2 ;+; C

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