Problema 4.10. Suponha que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que, se temos
ou seja,
e
deixam o mesmo resto na divisão por
, então devemos mostrar que
O conteúdo usado é a definição de congruência módulo e propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Pela definição de congruência,
Isto significa que existe um inteiro
tal que
Passo 3
Para a soma, consideramos a diferença
Fazendo a álgebra, obtemos
Como
divide
, segue que
logo
Passo 4
Para a subtração, olhamos a diferença
Calculando, chega-se a
De novo,
divide
, então
e portanto
Resposta
Mostramos que tanto