Problema 4.10. Suponha que a equiv b bmod m. Mostre que
a pm c equiv b pm c bmod m

Passo 1

O enunciado afirma que, se temos
a equiv b pmodm,
ou seja, a e b deixam o mesmo resto na divisão por m, então devemos mostrar que
a + c equiv b + c pmodm e a - c equiv b - c pmodm
O conteúdo usado é a definição de congruência módulo e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Pela definição de congruência,
a equiv b pmodm iff m mid (a - b)
Isto significa que existe um inteiro k tal que
a - b = k,m

Passo 3

Para a soma, consideramos a diferença
(a + c) - (b + c)
Fazendo a álgebra, obtemos
(a + c) - (b + c) = a - b
Como m divide a - b, segue que
m mid l((a + c) - (b + c)r),
logo
a + c equiv b + c pmodm

Passo 4

Para a subtração, olhamos a diferença
(a - c) - (b - c)
Calculando, chega-se a
(a - c) - (b - c) = a - b
De novo, m divide a - b, então
m mid l((a - c) - (b - c)r),
e portanto
a - c equiv b - c pmodm

Resposta

Mostramos que tanto
a + c equiv b + c pmodm quanto a - c equiv b - c pmodm

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