Calcular a integral:
integral(9 x^2+54 x-80) e^-3 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral(9x^2+54x-80)e^-3x,dx. O conteúdo envolvido é integração de produto de polinômio por exponencial e vamos usar o truque de tentar uma primitiva na forma exponencial vezes polinômio.

Passo 2

Vamos usar o método de coeficientes a determinar, supondo que a antiderivada tenha a forma F(x)=e^-3xl(Ax^2+Bx+Cr). A ideia é derivar essa expressão e igualar ao integrando.

Passo 3

Calculando a derivada de F(x):
F'(x)=ddxl(e^-3x(Ax^2+Bx+C)r)=e^-3xl((2Ax+B)-3(Ax^2+Bx+C)r)
Isso deve ser igual a (9x^2+54x-80)e^-3x.

Passo 4

Igualando coeficientes em
(2Ax+B)-3(Ax^2+Bx+C)=9x^2+54x-80,
temos o sistema
-3A=9, 2A-3B=54, B-3C=-80
Resolvendo, obtemos A=-3, B=-20 e C=20.

Passo 5

Substituindo de volta, a antiderivada fica
F(x)=e^-3xl(-3x^2-20x+20r)+C,
e de fato F'(x)=(9x^2+54x-80)e^-3x.

Resposta

e^-3x(-3x^2-20x+20)+C

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