Sejam 2^x=A e 3^x=B. Determine, se existir, x em
a) 2 cdot B=3 cdot A
b) 3 cdot A+2 cdot B=5.

Passo 1

O enunciado define A=2^x e B=3^x e pede para achar x em duas equações exponenciais. O conteúdo envolve propriedades de potências e, no segundo caso, análise de monotonicidade de função exponencial.

Passo 2

Para (a) temos
2cdot B = 3cdot A
Substituindo A=2^x e B=3^x vem
2cdot 3^x = 3cdot 2^x
Dividindo ambos os lados por 2^x e por 2 obtemos
3^x2^x = 32 Longrightarrow l(tfrac32r)^x = tfrac32,
logo x=1.

Passo 3

Para (b) escrevemos
3cdot A + 2cdot B = 5 Longrightarrow 3cdot 2^x + 2cdot 3^x = 5
Testando x=0 temos
3cdot2^0 + 2cdot3^0 = 3cdot1 + 2cdot1 = 5,
logo x=0 é solução. Para ver que não existe outra, note que
f(x)=3cdot2^x + 2cdot3^x
é estritamente crescente, pois
f'(x)=3cdot2^xln2 + 2cdot3^xln3>0
para todo x. Assim a única solução é x=0.

Resposta

a) x=1
b) x=0

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