Resolva as equações para x in R
5^x+5^2 x+5^3 x=31125.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação exponencial
5^x + 5^2x + 5^3x ;=; 31125
O conteúdo aqui é equação exponencial e vamos usar a substituição
t = 5^x, t>0,
para reduzir a equação a um polinômio em t.

Passo 2

Substituindo t=5^x temos
5^x = t, 5^2x = t^2, 5^3x = t^3,
logo a equação vira
t + t^2 + t^3 ;=; 31125

Passo 3

Reescrevendo em forma polinomial e eliminando o denominador multiplicamos ambos os lados por 125:
125l(t + t^2 + t^3r) = 31
125,t^3 + 125,t^2 +125,t -31 = 0

Passo 4

Pelo Teorema da raiz racional, as possíveis raízes de
125,t^3 + 125,t^2 +125,t -31 = 0
são da forma pm de com dmid31, emid125. Testando t=tfrac15:
125l(tfrac15r)^3 +125l(tfrac15r)^2 +125l(tfrac15r) -31 =1 +5 +25 -31 =0
Logo t=tfrac15 é raiz, e fazemos divisão polinomial para obter
125,t^3 +125,t^2 +125,t -31 = (5t-1)l(25t^2 + 30t +31r)

Passo 5

O trinômio 25t^2 +30t +31 tem discriminante
De<a = 30^2 -4cdot25cdot31 =900 -3100 = -2200 <0,
logo não gera raízes reais. A única solução real de t é
t = 15

Passo 6

Voltando à substituição t=5^x, temos
5^x = 15 = 5^-1
e, portanto,
x = -1

Resposta

x = -1.

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