Calcular a integral dupla:
integral duplaD y d x d y D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD y,dx,dy
no domínio
D = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= pi,;0 <= y <= sin x
O conteúdo aqui é integral dupla em uma região de tipo I, então vamos usar integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como iterada em y primeiro e depois em x:
integral duplaD y,dx,dy = integralx=0^pi l(integraly=0^sin x y,dyr),dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integral0^sin x y,dy = y^22|0^sin x = (sin x)^22
Assim a integral passa a ser
integral0^pi sin^2x2,dx

Passo 4

Para avaliar
integral0^pi sin^2x,dx
usamos a identidade
sin^2x = 1-cos(2x)2,
então
integral0^pi sin^2x,dx = integral0^pi 1-cos(2x)2,dx = [x2 - sin(2x)4]0^pi = pi2
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integral0^pi sin^2x2,dx = 12cdotpi2 = pi4

Resposta

pi4

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