Calcule:
integral0^2 integralx^3^8 e^x / raiz[3]y d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^2integralx^3^8e^x/raiz[3]y,dy,dx
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas; vamos descrever a região de integração e inverter a ordem de x e y.

Passo 2

A região de integração é
D=(x,y)mid 0<= x<= 2,;x^3<= y<= 8
Para um y fixo em [0,8], x varia de 0 até raiz[3]y. Portanto podemos reescrever o integral como
integral0^2integralx^3^8e^x/raiz[3]y,dy,dx = integral0^8integral0^raiz[3]ye^x/raiz[3]y,dx,dy

Passo 3

Calculamos o integral interno em x, mantendo y fixo. Fazemos a mudança de variável
t=xraiz[3]y, dx=raiz[3]y,dt,
com x=0Rightarrow t=0 e x=raiz[3]yRightarrow t=1. Assim,
integral0^raiz[3]ye^x/raiz[3]y,dx =integral0^1e^t,raiz[3]y,dt =raiz[3]y,(e-1)

Passo 4

Substituindo no integral externo em y:
integral0^8raiz[3]y,(e-1),dy =(e-1)integral0^8y^1/3,dy =(e-1)[y^4/3tfrac43]0^8 =(e-1)34,8^4/3
Como 8^1/3=2 temos 8^4/3=16, daí
(e-1)34cdot16 =12,(e-1)

Resposta

12(e-1)

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