Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
g(r, theta)=r sen theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
g(r,theta)=rsentheta
em coordenadas polares e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar as derivadas parciais de primeira ordem para achar os pontos onde elas se anulam e em seguida aplicar o teste de segunda derivada para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
gr(r,theta)=partialpartial r(rsentheta)=sentheta, gtheta(r,theta)=partialpartialtheta(rsentheta)=rcostheta

Passo 3

Impondo as condições de ponto crítico, temos
gr(r,theta)=0impliessentheta=0impliestheta=0 ou theta=pi,
gtheta(r,theta)=0implies rcostheta=0
Em theta=0 ou pi vale costheta=pm1neq0, então a única forma de rcostheta=0 é r=0. Logo os pontos críticos em coordenadas polares são
(r,theta)=(0,0)e(0,pi),
que representam ambos a origem no plano cartesiano.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem:
grr(r,theta)=0, grtheta(r,theta)=costheta, gthetatheta(r,theta)=-,rsentheta
Em cada ponto crítico r=0 e theta=0 ou pi, temos
grr=0, grtheta=costheta=pm1, gthetatheta=0
O discriminante da matriz Hessiana é
D = grr,gthetatheta - (grtheta)^2 = 0cdot0 - (pm1)^2 = -1 < 0
Como D<0, cada um desses pontos críticos é ponto de sela.

Resposta

A função não tem máximos nem mínimos locais; ela tem ponto de sela na origem (representado em polares por (r,theta)=(0,0) e (0,pi)).

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