Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
em coordenadas polares e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar as derivadas parciais de primeira ordem para achar os pontos onde elas se anulam e em seguida aplicar o teste de segunda derivada para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Impondo as condições de ponto crítico, temos
Em
ou
vale
, então a única forma de
é
. Logo os pontos críticos em coordenadas polares são
que representam ambos a origem no plano cartesiano.
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem:
Em cada ponto crítico
e
ou
, temos
O discriminante da matriz Hessiana é
Como
, cada um desses pontos críticos é ponto de sela.
Resposta
A função não tem máximos nem mínimos locais; ela tem ponto de sela na origem (representado em polares por
e
).