A função f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 possui ponto de mínimo na restrição x y z=8. Qual o valor mínimo de f neste caso?

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sob a restrição
g(x,y,z)=x,y,z-8=0
O conteúdo principal é o método de multiplicadores de Lagrange, que nos diz que no ponto de mínimo com restrição devemos ter
nabla f = lambda,nabla g
além de satisfazer g(x,y,z)=0.

Passo 2

Construímos o Lagrangeano
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2 -lambda,(x,y,z-8)
As condições de estacionariedade são as derivadas parciais nulas:
partialLpartial x=2x - lambda,y,z=0, partialLpartial y=2y - lambda,x,z=0, partialLpartial z=2z - lambda,x,y=0,
além de
x,y,z=8

Passo 3

Das três primeiras equações temos
2x = lambda,y,z, 2y = lambda,x,z, 2z = lambda,x,y
Dividindo a primeira pela segunda vem
2x2y = y,zx,z Longrightarrow xy = yx Longrightarrow x^2=y^2
Analogamente obtemos y^2=z^2. Logo
x^2=y^2=z^2

Passo 4

Como queremos x,y,z=8>0, não servem as três variáveis com sinal comum negativo (darão -8) nem só uma negativa (dariam -8). A única opção compatível com x^2=y^2=z^2 e produto positivo é
x=y=z>0
Então da restrição
x^3=8 Longrightarrow x=2,
e assim
x=y=z=2

Passo 5

Substituindo em f temos
f(2,2,2)=2^2+2^2+2^2=4+4+4=12
Podemos confirmar que é mínimo usando AM–GM:
x^2+y^2+z^2>=3,(x^2y^2z^2)^1/3 =3,(|xyz|)^2/3 =3cdot8^2/3=3cdot4=12

Resposta

O valor mínimo de f sob a restrição x,y,z=8 é 12.

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