A função
possui ponto de mínimo na restrição
. Qual o valor mínimo de
neste caso?
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função
sob a restrição
O conteúdo principal é o método de multiplicadores de Lagrange, que nos diz que no ponto de mínimo com restrição devemos ter
além de satisfazer
.
Passo 2
Construímos o Lagrangeano
As condições de estacionariedade são as derivadas parciais nulas:
além de
Passo 3
Das três primeiras equações temos
Dividindo a primeira pela segunda vem
Analogamente obtemos
. Logo
Passo 4
Como queremos
, não servem as três variáveis com sinal comum negativo (darão
) nem só uma negativa (dariam
). A única opção compatível com
e produto positivo é
Então da restrição
e assim
Passo 5
Substituindo em
temos
Podemos confirmar que é mínimo usando AM–GM:
Resposta
O valor mínimo de
sob a restrição
é
.