Calcular a integral dupla:
integral duplaD x sen y d x d y D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= pi, 0 <= y <= x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x sin y ,dx,dy
no domínio
D = (x,y)inR^2:0<= x<=pi,;0<= y<= x
O conteúdo principal aqui é escrever a integral como iterada (teorema de Fubini), fazer a primitiva de sin y e depois resolver uma integral em x, usando se necessário integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada primeiro em y e depois em x:
integral duplaD xsin y,dx,dy = integralx=0^pil(integraly=0^xxsin y,dyr)dx

Passo 3

Na integral interna, x é constante em relação a y. Assim,
integraly=0^xxsin y,dy = xintegral0^xsin y,dy = xl[-cos yr]0^x = xl(1-cos xr)

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos
integral0^pixl(1-cos xr)dx = integral0^pix,dx ;-;integral0^pixcos x,dx

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^pix,dx =l[tfracx^22r]0^pi =tfracpi^22,
e para
integral0^pixcos x,dx
usamos integração por partes com u=x, dv=cos x,dx, obtendo
integral0^pixcos x,dx = xsin x|0^pi - integral0^pisin x,dx = 0 - 2 = -2

Passo 6

Logo,
integral0^pixl(1-cos xr)dx =tfracpi^22 - (-2) =tfracpi^22 + 2

Resposta

integral duplaD xsin y,dx,dy = tfracpi^22 + 2

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