Calcule:
integral0^2 integral3 y^6 sen(pi x^26) d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
integral0^2integral3y^6sin!gl(pi x^26gr),dx,dy
O conteúdo envolve o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e uma substituição em integral simples.

Passo 2

Descriminamos a região de integração
R=(x,y)mid 0<= y<=2,;3y<= x<=6
Se invertermos a ordem, primeiro x varia de 0 a 6 e, para cada x, y vai de 0 a x/3. Assim
integral0^2!integral3y^6sin!l(pi x^26r),dx,dy =integral0^6!integral0^x/3sin!l(pi x^26r),dy,dx

Passo 3

Como a função sinl(tfracpi x^26r) independe de y, fazemos a integral interna em y:
integral0^x/3sin!l(pi x^26r),dy =sin!l(pi x^26r)cdotl[;yr]0^x/3 =x3,sin!l(pi x^26r)
Logo a integral vira
integral0^6x3,sin!l(pi x^26r),dx =13integral0^6x,sin!l(pi x^26r),dx

Passo 4

Fazemos a substituição
t=pi x^26, dt=pi x3,dx Longrightarrow x,dx=3pi,dt
Quando x=0, t=0; quando x=6, t=picdot36/6=6pi. Assim
13integral0^6x,sin!l(pi x^26r),dx =13cdot3piintegral0^6pisin t,dt =1piintegral0^6pisin t,dt

Passo 5

Calculamos a integral de sin t:
integral0^6pisin t,dt =l[-cos tr]0^6pi =-cos(6pi)+cos(0) =-1+1 =0
Portanto o valor da integral dupla é zero.

Resposta

0

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