Calcule:
integral0^1 integraly^1 e^-3 x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1!integraly^1e^-3x^2;dx;dy
O conteúdo envolve mudança de ordem de integração (Teorema de Fubini) e uma integração simples por substituição.

Passo 2

Descrevemos a região de integração em coordenadas (x,y):
0 <= y <= 1, y <= x <= 1
Invertendo a ordem, vemos que
integral0^1!integraly^1e^-3x^2,dx,dy =integralx=0^1!integraly=0^xe^-3x^2,dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integraly=0^xe^-3x^2,dy =e^-3x^2integral0^xdy =e^-3x^2;x
Logo a integral reduz a
integral0^1x,e^-3x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1x,e^-3x^2,dx fazemos a substituição
t = 3x^2, dt = 6x,dx Longrightarrow x,dx = dt6
Quando x=0, t=0; quando x=1, t=3. Assim
integral0^1x,e^-3x^2,dx =integral0^3e^-t,dt6 =16integral0^3e^-t,dt =16l[-e^-tr]0^3 =16l(1 - e^-3r)

Resposta

boxed1 - e^-36

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