Calcular a integral dupla:
,
Se
são constantes reais;
Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o losango dado por
e
.
O conteúdo aqui é troca de variáveis via rotação de (para transformar o losango num retângulo) e depois uso de integrais de exponenciais separáveis.
O conteúdo aqui é troca de variáveis via rotação de
Passo 2
Definimos a rotação de
pelas variáveis
Inversamente
e o jacobiano da transformação é
, ou seja,
.
Passo 3
Sob essa rotação, a condição
torna-se
ou seja, um retângulo centrado na origem com lados de comprimento
.
Passo 4
No integrando, escrevemos
Logo
Passo 5
Usamos a fórmula
Aqui
e
. Assim
Multiplicando e incluindo o fator
resulta
Simplificando
e
chega-se a