Calcular a integral dupla:
\int_{\mathcal{D}} e^{a x+b y+c} d x d y, D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant h\},
Se a, b, c, h>0 são constantes reais;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}e^{a x + b y + c}\,dx\,dy,
onde D é o losango dado por \{(x,y)\mid |x|+|y|\le h\} e a,b,c,h>0.
O conteúdo aqui é troca de variáveis via rotação de 45^\circ (para transformar o losango num retângulo) e depois uso de integrais de exponenciais separáveis.

Passo 2

Definimos a rotação de 45^\circ pelas variáveis
u = \frac{x+y}{\sqrt{2}}, \quad v = \frac{x-y}{\sqrt{2}}.
Inversamente
x = \frac{u+v}{\sqrt{2}}, \quad y = \frac{u-v}{\sqrt{2}},
e o jacobiano da transformação é 1, ou seja, dx\,dy = du\,dv.

Passo 3

Sob essa rotação, a condição |x|+|y|\le h torna-se
|u|\le \frac{h}{\sqrt{2}} \quad\text{e}\quad |v|\le \frac{h}{\sqrt{2}},
ou seja, um retângulo centrado na origem com lados de comprimento 2h/\sqrt2.

Passo 4

No integrando, escrevemos
a x + b y = a\frac{u+v}{\sqrt{2}} + b\frac{u-v}{\sqrt{2}} = \frac{a+b}{\sqrt{2}}\,u + \frac{a-b}{\sqrt{2}}\,v.
Logo
\iint_{D}e^{a x + b y + c}\,dx\,dy = e^{c} \int_{-h/\sqrt2}^{h/\sqrt2}e^{\frac{a+b}{\sqrt2}u}\,du \;\times\; \int_{-h/\sqrt2}^{h/\sqrt2}e^{\frac{a-b}{\sqrt2}v}\,dv.

Passo 5

Usamos a fórmula
\int_{-L}^{L}e^{k t}\,dt = \frac{2}{k}\operatorname{sinh}\bigl(kL\bigr).
Aqui L = h/\sqrt2 e k=\tfrac{a\pm b}{\sqrt2}. Assim
\int_{-h/\sqrt2}^{h/\sqrt2}e^{\frac{a+b}{\sqrt2}u}\,du = \frac{2\sqrt2}{a+b}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\frac{(a+b)h}{2}\Bigr),
\int_{-h/\sqrt2}^{h/\sqrt2}e^{\frac{a-b}{\sqrt2}v}\,dv = \frac{2\sqrt2}{\,a-b\,}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\frac{(a-b)h}{2}\Bigr).
Multiplicando e incluindo o fator e^c resulta
\iint_{D}e^{a x + b y + c}\,dx\,dy = e^{c}\,\frac{2\sqrt2}{a+b}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{(a+b)h}{2}\Bigr) \;\times\; \frac{2\sqrt2}{\,a-b\,}\,\operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{(a-b)h}{2}\Bigr).
Simplificando 2\sqrt2\times2\sqrt2=8 e (a+b)(a-b)=a^2-b^2 chega-se a

Resposta

\boxed{ \iint_{D}e^{a x + b y + c}\,dx\,dy = \frac{8\,e^{c}}{\,a^{2}-b^{2}\!}\; \operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{(a+b)\,h}{2}\Bigr)\, \operatorname{sinh}\!\Bigl(\tfrac{(a-b)\,h}{2}\Bigr) }.

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