A lei dos gases para n mols de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é P V=n R T (equação de Clapeyron), onde R é a constante universal dos gases. Mostre que \frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P}=-1 \quad e \quad \frac{\partial P}{\partial T} \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{n R}{T}.

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado de um gás ideal com n mols à temperatura absoluta T, pressão P e volume V:
P\,V = n\,R\,T.
Precisamos tratar P, V e T como funções umas das outras e calcular derivadas parciais em que sempre uma variável fica constante. Em particular, para mostrar
\frac{\partial P}{\partial V}\,\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial P} = -1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial P}{\partial T}\,\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{n\,R}{T},
vamos usar expressões explícitas de P em função de V,T e de V em função de P,T.

Passo 2

Para a primeira identidade, escrevemos
P = \frac{n\,R\,T}{V}, \quad V = \frac{n\,R\,T}{P}, \quad T = \frac{P\,V}{n\,R}.
Então:
  1. \displaystyle \frac{\partial P}{\partial V}\Big|_{T} = \frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\frac{n\,R\,T}{V}\Bigr) = -\frac{n\,R\,T}{V^2}.
  2. \displaystyle \frac{\partial V}{\partial T}\Big|_{P} = \frac{\partial}{\partial T}\Bigl(\frac{n\,R\,T}{P}\Bigr) = \frac{n\,R}{P}.
  3. \displaystyle \frac{\partial T}{\partial P}\Big|_{V} = \frac{\partial}{\partial P}\Bigl(\frac{P\,V}{n\,R}\Bigr) = \frac{V}{n\,R}.
Multiplicando essas três derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial V}\, \frac{\partial V}{\partial T}\, \frac{\partial T}{\partial P} = \bigl(-\tfrac{n\,R\,T}{V^2}\bigr)\,\bigl(\tfrac{n\,R}{P}\bigr)\,\bigl(\tfrac{V}{n\,R}\bigr) = -\frac{n\,R\,T}{V^2}\,\frac{V}{P} = -\frac{n\,R\,T}{P\,V}.
Como P\,V = n\,R\,T, segue
-\frac{n\,R\,T}{P\,V} = -1.

Passo 3

Para a segunda identidade, usamos as mesmas expressões de P e V:
  1. \displaystyle \frac{\partial P}{\partial T}\Big|_{V} = \frac{\partial}{\partial T}\Bigl(\frac{n\,R\,T}{V}\Bigr) = \frac{n\,R}{V}.
  2. \displaystyle \frac{\partial V}{\partial T}\Big|_{P} = \frac{n\,R}{P} (já calculada no passo anterior).
Multiplicando:
\frac{\partial P}{\partial T}\,\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{n\,R}{V}\,\frac{n\,R}{P} = \frac{n^2\,R^2}{P\,V}.
E como P\,V = n\,R\,T, temos
\frac{n^2\,R^2}{P\,V} = \frac{n^2\,R^2}{n\,R\,T} = \frac{n\,R}{T}.

Resposta

\frac{\partial P}{\partial V}\,\frac{\partial V}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial P} = -1, \qquad \frac{\partial P}{\partial T}\,\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{n\,R}{T}.

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