Calcular a integral dupla integral duplaB 3 x^2+3 y^2 d x d y, sendo que B é o círculo x^2+y^2+4 y<0.

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular a integral dupla integral duplaB (3x^2+3y^2),dx,dy sobre o círculo definido por x^2+y^2+4y<0. Vamos usar completar o quadrado e mudança de variáveis para simplificar, pois o domínio é um disco deslocado.

Passo 2

Fazendo completar o quadrado em y, temos
x^2+y^2+4y = x^2 + (y+2)^2 - 4
A condição x^2+y^2+4y<0 vira x^2+(y+2)^2<4. Logo, B é o disco de raio 2 centrado em (0,-2).

Passo 3

Para centralizar o disco na origem, definimos u = x e v = y+2. Nesse novo sistema, a região é
u^2+v^2<4,
e a expressão x^2+y^2 fica
x^2+y^2 = u^2+(v-2)^2 = u^2+v^2 -4v+4
Como é só uma translação, o jacobiano é 1.

Passo 4

Reescrevendo a integral no sistema (u,v):
integral duplau^2+v^2<43l(u^2+v^2 -4v+4r),du,dv
Separamos em três integrais:
3integral duplaD(u^2+v^2),dA -12integral duplaD v,dA +12integral duplaD 1,dA
Usamos os resultados para um disco de raio R:
integral duplaD(u^2+v^2),dA = pi R^42, integral duplaD v,dA = 0,(simetria), integral duplaD 1,dA = pi R^2

Passo 5

Para R=2:
integral duplaD(u^2+v^2),dA = 8pi, integral duplaD v,dA =0, integral duplaD1,dA =4pi
Substituindo de volta:
3cdot8pi -12cdot0 +12cdot4pi =24pi +48pi =72pi

Resposta

A integral vale 72pi.

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