Calcular a integral dupla
, sendo que
é o círculo
.
Passo 1
No enunciado, precisamos calcular a integral dupla
sobre o círculo definido por
. Vamos usar completar o quadrado e mudança de variáveis para simplificar, pois o domínio é um disco deslocado.
Passo 2
Fazendo completar o quadrado em
, temos
A condição
vira
. Logo,
é o disco de raio 2 centrado em
.
Passo 3
Para centralizar o disco na origem, definimos
e
. Nesse novo sistema, a região é
e a expressão
fica
Como é só uma translação, o jacobiano é 1.
Passo 4
Reescrevendo a integral no sistema
:
Separamos em três integrais:
Usamos os resultados para um disco de raio
:
Passo 5
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale
.