Calcule a derivada direcional de f em P na direção dada:
f(x, y, z)=x y e^z+y z e^x, P(1,0,0), na direção do vetor u=(2,2,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x,y,e^z+y,z,e^x
no ponto P=(1,0,0) na direção do vetor u=(2,2,1).
Para isso vamos precisar de (i) nabla f em P e (ii) o versor u=u/|u|.

Passo 2

Calculamos as componentes de nabla f:
partial fpartial x =y,e^z+y,z,e^x, partial fpartial y =x,e^z+z,e^x, partial fpartial z =x,y,e^z+y,e^x

Passo 3

Avaliando em P(1,0,0):
partial fpartial x(1,0,0)=0, partial fpartial y(1,0,0)=1, partial fpartial z(1,0,0)=0
Logo nabla f(1,0,0)=(0,1,0).

Passo 4

Normalizamos u:
|u|=raiz2^2+2^2+1^2=raiz9=3,
u=13(2,2,1)

Passo 5

A derivada direcional é
Duf(1,0,0) =nabla f(1,0,0)cdotu =(0,1,0)cdot13(2,2,1) =23

Resposta

A derivada direcional vale tfrac23.

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