Calcule a derivada direcional de f em P na direção dada:
f(x, y)=sen(x y^2), P(pi4, 2), na direção do vetor u=i

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=sinl(xy^2r)
no ponto
Pl(tfracpi4,2r)
na direção do vetor
vec u=vec i.
O conteúdo envolvido é: derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.

Passo 2

A definição de derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário vec u é
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u
Como vec u=vec i=(1,0) já é unitário, temos
Dvec uf(P)=partial fpartial x(P)cdot1 + partial fpartial y(P)cdot0 =partial fpartial x(P)

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xsinl(xy^2r) =cosl(xy^2r)cdot y^2

Passo 4

Agora avaliamos em Pl(tfracpi4,2r):
partial fpartial x!l(tfracpi4,2r) =cos!l(tfracpi4cdot 2^2r)cdot 2^2 =cos(pi)cdot 4 =-1cdot4 =-4

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de vec i é -4.

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