Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
, onde
é a região que fica entre os círculos
.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região entre os círculos
e
. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e o uso de coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas polares, entender como a região
é definida nesses termos e aplicar as fórmulas de integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Os círculos
e
têm raios
e
, respectivamente. Assim,
é a área entre dois círculos concêntricos com raios
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, as coordenadas
são representadas como
. A vantagem de usar coordenadas polares aqui é que os limites de integração para
e
ficam mais simples.
Passo 4
Vamos expressar a função da integral em coordenadas polares. Temos:
Passo 5
O elemento de área
em coordenadas polares é dado por
. Portanto, a integral se transforma em:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
está entre os círculos de raio
e
,
varia de
a
. E como estamos cobrindo toda a região circular,
varia de
a
.
Passo 7
Assim, a integral se torna:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 9
Agora, a integral se reduz a:
Passo 10
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Resposta
Multiplicando os resultados, temos:
Portanto, a integral dupla vale
.