Calcular a integral dupla usando coordenadas polares: integral duplaD y^2x^2+y^2 d A, onde D é a região que fica entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD y^2x^2+y^2 , dA, onde D é a região entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas e o uso de coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar mudar para coordenadas polares, entender como a região D é definida nesses termos e aplicar as fórmulas de integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 têm raios 2 e 3, respectivamente. Assim, D é a área entre dois círculos concêntricos com raios 2 e 3.

Passo 3

Em coordenadas polares, as coordenadas (x, y) são representadas como (rcostheta, rsintheta). A vantagem de usar coordenadas polares aqui é que os limites de integração para r e theta ficam mais simples.

Passo 4

Vamos expressar a função da integral em coordenadas polares. Temos:
y^2x^2+y^2 = (rsintheta)^2r^2 = sin^2theta

Passo 5

O elemento de área dA em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta. Portanto, a integral se transforma em:
integral duplaD sin^2theta cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como D está entre os círculos de raio 2 e 3, r varia de 2 a 3. E como estamos cobrindo toda a região circular, theta varia de 0 a 2pi.

Passo 7

Assim, a integral se torna:
integral0^2pi integral2^3 sin^2theta cdot r , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em r primeiro:
integral2^3 r , dr = [ r^22 ]2^3 = 92 - 42 = 52

Passo 9

Agora, a integral se reduz a:
52 integral0^2pi sin^2theta , dtheta

Passo 10

Para resolver integral0^2pi sin^2theta , dtheta, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Então,
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 [ theta - sin(2theta)2 ]0^2pi = 12 (2pi) = pi

Resposta

Multiplicando os resultados, temos:
52 cdot pi = 5pi2
Portanto, a integral dupla vale 5pi2.

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