Sejam f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 + 4) e gamma(t) = (t cos t, t sen t, raiz(t^2 + 4)), t ≥ 0.
Mostre que a imagem de gamma está contida no gráfico de f.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  1. A função . Isso representa um gráfico no espaço tridimensional.
  2. A curva para .
A tarefa é mostrar que todos os pontos da curva estão dentro do gráfico da função . Para isso, precisamos verificar se, para todo , a terceira coordenada de é igual a avaliado nas duas primeiras coordenadas de .

Passo 2

Vamos começar identificando as componentes da curva :
Queremos ver se , ou seja, se:

Passo 3

Substituímos e na expressão de :

Passo 4

Calculamos os quadrados das componentes:
Então,

Passo 5

Fatoramos nos dois primeiros termos:
Sabemos que (identidade trigonométrica).

Passo 6

Simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica:

Passo 7

Comparando com a terceira coordenada de , que é , vemos que:
Isso mostra que para todo , o ponto está no gráfico de .

Resposta

Portanto, a imagem de está contida no gráfico de .

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