Sejam
.
Mostre que a imagem de
está contida no gráfico de
.
Mostre que a imagem de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
- A função
. Isso representa um gráfico no espaço tridimensional. - A curva
para .
A tarefa é mostrar que todos os pontos da curva
estão dentro do gráfico da função
. Para isso, precisamos verificar se, para todo
, a terceira coordenada de
é igual a
avaliado nas duas primeiras coordenadas de
.
Passo 2
Vamos começar identificando as componentes da curva
:
Queremos ver se
, ou seja, se:
Passo 3
Substituímos
e
na expressão de
:
Passo 4
Calculamos os quadrados das componentes:
Então,
Passo 5
Fatoramos
nos dois primeiros termos:
Sabemos que
(identidade trigonométrica).
Passo 6
Simplificamos a expressão usando a identidade trigonométrica:
Passo 7
Comparando com a terceira coordenada de
, que é
, vemos que:
Isso mostra que para todo
, o ponto
está no gráfico de
.
Resposta
Portanto, a imagem de
está contida no gráfico de
.