Calcular a integral dupla usando coordenadas polares: integral duplaD x^2 y d A, onde
i) D é o semicírculo superior com centro na origem e raio 1 .
ii) D é a região limitada pelo círculo (x-1)^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral integral duplaD x^2 y , dA para duas regiões diferentes:
i) o semicírculo superior com centro na origem e raio 1, e
ii) a região delimitada pelo círculo (x-1)^2 + y^2 = 1.
Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como definir os limites de integração para cada região.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte i): o semicírculo superior com centro na origem e raio 1. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) é representado por (r costheta, r sintheta), onde r é a distância ao centro e theta é o ângulo com o eixo positivo de x.

Passo 3

A gente vai substituir x e y na integral:
x^2 y = (r costheta)^2 (r sintheta) = r^3 cos^2theta sintheta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Então, a integral fica:
integral duplaD x^2 y , dA = integral0^pi integral0^1 r^4 cos^2theta sintheta , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em r:
integral0^1 r^4 , dr = [r^55]0^1 = 15
Então, a integral fica:
15 integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em theta. Fazemos a substituição u = costheta, então du = -sintheta , dtheta. Quando theta = 0, u = 1; quando theta = pi, u = -1. A integral se torna:
-15 integral1^-1 u^2 , du = 15 integral-1^1 u^2 , du
= 15 [u^33]-1^1 = 15 (13 - (-13)) = 215

Passo 6

Agora vamos para a parte ii): a região delimitada pelo círculo (x-1)^2 + y^2 = 1. Esse círculo tem centro em (1,0) e raio 1. Em coordenadas polares, vamos deslocar o centro para facilitar a integração.

Passo 7

Substituímos x por (r costheta + 1) e y por r sintheta. A integral fica:
integral duplaD x^2 y , dA = integral0^2pi integral0^2costheta (r costheta + 1)^2 (r sintheta) r , dr , dtheta

Passo 8

Expandindo (r costheta + 1)^2:
(r costheta + 1)^2 = r^2 cos^2theta + 2r costheta + 1
Então, a integral se torna:
integral0^2pi integral0^2costheta (r^3 cos^2theta + 2r^2 costheta + r) sintheta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral0^2costheta r^3 , dr = [r^44]0^2costheta = (2costheta)^44 = 4cos^4theta
integral0^2costheta 2r^2 , dr = 2[r^33]0^2costheta = 16cos^3theta3
integral0^2costheta r , dr = [r^22]0^2costheta = 2cos^2theta

Passo 10

Substituímos de volta na integral:
integral0^2pi (4cos^4theta + 163cos^3theta + 2cos^2theta) sintheta , dtheta
Fazemos a substituição u = costheta, du = -sintheta , dtheta, mudando os limites de acordo.

Passo 11

Após a substituição e integração, somamos os resultados e simplificamos. Por simetria, muitos termos se anulam, restando apenas a contribuição final.

Resposta

A integral dupla para a parte i) é 215 e para a parte ii) é 0.

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