Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
, onde
i)
é o semicírculo superior com centro na origem e raio 1 .
ii)
é a região limitada pelo círculo
.
i)
ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral
para duas regiões diferentes:
i) o semicírculo superior com centro na origem e raio 1, e
ii) a região delimitada pelo círculo .
Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como definir os limites de integração para cada região.
i) o semicírculo superior com centro na origem e raio 1, e
ii) a região delimitada pelo círculo
Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como definir os limites de integração para cada região.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte i): o semicírculo superior com centro na origem e raio 1. Em coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
, onde
é a distância ao centro e
é o ângulo com o eixo positivo de
.
Passo 3
A gente vai substituir
e
na integral:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral em
. Fazemos a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral se torna:
Passo 6
Agora vamos para a parte ii): a região delimitada pelo círculo
. Esse círculo tem centro em
e raio 1. Em coordenadas polares, vamos deslocar o centro para facilitar a integração.
Passo 7
Substituímos
por
e
por
. A integral fica:
Passo 8
Expandindo
:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Substituímos de volta na integral:
Fazemos a substituição
,
, mudando os limites de acordo.
Passo 11
Após a substituição e integração, somamos os resultados e simplificamos. Por simetria, muitos termos se anulam, restando apenas a contribuição final.
Resposta
A integral dupla para a parte i) é
e para a parte ii) é
.