Calcule a área da região limitada pelas curvas (x^2 + y^2)^2 = 2xy.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a área da região delimitada pela curva dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente coordenadas polares, para resolver isso. Precisamos entender como transformar essa equação e encontrar os limites de integração para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
E usando a identidade trigonométrica , temos:
Então:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de para os quais é real e positivo. A expressão é válida quando .
Sabemos que quando:
Isso corresponde a:
Como a curva é simétrica, vamos calcular a área para e depois multiplicar por 2.

Passo 4

A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Substituindo e os limites de :
Vamos resolver essa integral:
Então:
Sabendo que e :
Essa é a área para . Como a curva é simétrica, a área total é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é igual a 1.

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