Calcule a área da região limitada pelas curvas
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a área da região delimitada pela curva dada pela equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente coordenadas polares, para resolver isso. Precisamos entender como transformar essa equação e encontrar os limites de integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação para coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
E usando a identidade trigonométrica
, temos:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de
para os quais
é real e positivo. A expressão
é válida quando
.
Sabemos que
quando:
Isso corresponde a:
Como a curva é simétrica, vamos calcular a área para
e depois multiplicar por 2.
Passo 4
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Substituindo
e os limites de
:
Vamos resolver essa integral:
Então:
Sabendo que
e
:
Essa é a área para
. Como a curva é simétrica, a área total é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é igual a 1.